Progressão Aritmética e Dinheiro

Aposto que você, assim que leu o título do texto, já ficou, no mínimo, curioso, seja homem, seja mulher. Aparece a pergunta na cabeça de quem lê: “No que é que matemática vai me ajudar a ganhar dinheiro?”

Pra começar, minha intenção com este texto NÃO É ensinar você a ganhar dinheiro. Isto cabe a você. O que me cabe é mostrar uma forma de GUARDAR dinheiro para os períodos difíceis que porventura virão. (Com esta explicação, metade dos curiosos desiste de continuar lendo.)

E neste sentido, há uma ferramenta, vinda da matemática do ensino médio, que pode ser útil: Progressão Aritmética.

“Mas peraí”, alguém começa a objetar, “eu me lembro de que existem dois tipos de progressão, a aritmética e a geométrica. Você vai falar só da aritmética? Não vai falar da geométrica, não?” Bem, até poderia falar da progressão geométrica, mas levando em conta que a gente está procurando uma forma de guardar dinheiro que seja relativamente simples e que não pese muito no bolso do cidadão nem da cidadã, acredito que a progressão aritmética se adapta melhor a esse critério do que a própria progressão geométrica. Acompanhe o texto e você vai entender.

Pra começar, o que é uma progressão aritmética? É uma sequência de números na qual cada termo, a partir do segundo, é formado pela soma do termo anterior com uma constante, a qual vamos chamar de razão e apelidar de r. É assim: a1 (começa sempre com a1), a2 = a1 + r, a3 = a2 + r (a3 = a1+2r) e por aí vai...

Há uma fórmula para isso, a fórmula do termo geral da PA (o apelido que vamos dar para a progressão aritmética):

an = a1 + (n-1)*r

E metade dos interessados em ler este texto desistem de lê-lo somente porque apareceu esta fórmula. Enfim, vamos continuar com os bravos persistentes.

O que quer dizer esta fórmula? Quer dizer que, se a pessoa tiver conhecimento do primeiro termo, de quantos termos foram anteriores e da razão, pode saber qual é o termo em questão neste momento. Sigam-me os bons!

Existe uma forma (outra fórmula) de termos noção da soma dessa PA, a soma dos termos:

Sn = (a1 + an)*n/2

Tem até uma estorinha curiosa a respeito da criação desta fórmula, atribuída a um matemático chamado Gauss.

Muito bem, e o que tem a ver essas duas fórmulas com guardar dinheiro?

Vamos supor que Celso (um personagem integrante do mundo mágico de Jorge) definiu como meta ou promessa de início de ano economizar dinheiro. Muito bem, o ano virou e ele não se esqueceu dessa promessa, ao contrário de muitos brasileiros.

Mas ele queria uma forma simples de economizar dinheiro, e que não pesasse tanto no bolso. Sabe como é, grana curta, muitas contas pra pagar, e um pouco de conforto não faz mal a ninguém.

Ele então se lembrou das aulas de matemática do ensino médio (ele era um dos poucos que prestava atenção às aulas de matemática do EM) e, em especial, das progressões, aritmética e geométrica.

Num primeiro momento, ele se interessou pela progressão geométrica. Afinal de contas, a lei de formação da PG é algo assim:

an = a1 * q ** (n-1)

Aqui é q elevado a n-1, uma potência. Quando você vir algo do tipo a ** b, é uma potência, é a elevado a b.

E a soma dos primeiros termos da PG é:

Sn = [a1 * (1 – q **n)]/(1 – q)

Celso começou a ficar empolgado. Se ele seguisse a PG, ele teria muito dinheiro guardado no final do período que ele estivesse economizando!

Só tem um problema. Celso teria que sempre dobrar (no mínimo) a quantia economizada a cada vez. Ou seja, ele começaria com 1, depois com 2, depois 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... Rapidamente ficaria impraticável economizar assim.

Foi então que ele se voltou para a PA, a progressão aritmética. Ele montou uma tabelinha:

Termo	Valor guardado	Soma
1	1	1
2	2	3
3	3	6
4	4	10
5	5	15
6	6	21
7	7	28
8	8	36
9	9	45

E notou que o início começa pequeno, mas depois, com persistência e disciplina, os frutos vêm em abundância (discurso de pregador de prosperidade).

Ele ficou curioso. Se ele seguisse esse esquema, guardando 1 real na primeira semana do ano e, a cada semana, aumentasse o valor guardado em apenas 1 real, com quanto ele ficaria no fim do ano (lembrando que o ano tem 52 semanas)?

Dá-lhe soma da PA:

Sn = (a1 + an) * n/2

a1 = 1

an = a52 = 52

n = 52

Sn = (1 + 52) * 52/2

Sn = 53 * 26

Sn = 1378

R$ 1.378,00!

No caso, Celso pode economizar R$ 1.378,00 se ele for disciplinado e guardar 1 real a mais, a cada semana, até o fim do ano. Dinheiro bastante para comprar um presente legal pra si ou pra quem ele curte, ou uma pequena viagem.

Foi o que ele fez: ele assumiu este desafio e, toda terça-feira (porque segunda é o dia das dietas não cumpridas), ele depositava em um cofrinho sempre 1 real a mais do que ele havia depositado na semana anterior. Chegou a um ponto em que o cofrinho não cabia mais... e comprou outro. E foi juntando dinheiro até o último fim de semana de dezembro. Quando o ano virou, ele estava muito mais sorridente, de certa forma estava até mais feliz do que os amigos dele, pois estava com as contas em dia e conseguiu economizar dinheiro sem sacrificar-se tanto.

Acredito que a estória de Celso deve ter inspirado você ou, no mínimo, deixado você curioso. Agora cabe a você decidir o que fazer em seguida: poupar ou não, e caso queira poupar, acabei de mostrar uma ideia simples de como fazer isso. Com paciência, disciplina e persistência, você pode ir longe.