Uso de calculadora científica para cálculos de matemática financeira

Conheço muita gente (e quando digo muita, é MUITA mesmo) que está estudando para se tornar corretor de imóveis. Para se tornar corretor, a pessoa precisa fazer um curso, seja o técnico (TTI) ou superior (Negócios Imobiliários). A questão do CRECI é outro assunto - eu não vou abordar este assunto aqui.

A gente usa muitos conceitos de matemática financeira em nossa vida diária como corretor. E não é necessário ser um afortunado proprietário de uma calculadora HP 12C para aprender a fazer as operações básicas em matemática financeira, basta ter uma calculadora científica. (Sim, afortunado, porque não é todo mundo que tem condição de gastar mais de R$300,00 para comprar uma calculadora financeira como a HP mencionada há pouco).

Quanto custa? Por uma fabulosa quantia de R$20,00, até menos, você pode ter uma calculadora científica básica. 

Vou usar, como exemplo, uma calculadora científica Kenko modelo KK-105B, mas você pode usar qualquer calculadora científica que você possa comprar.

A calculadora que uso

Toda calculadora científica tem as operações matemáticas mais usadas em matemática financeira (exercício para você: procurar na sua calculadora as funções que vou listar daqui a pouco). As operações são as seguintes:
* As quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão) (Ah Jorge, toda calculadora simplezinha tem essas operações!)
* O sinal de igual (tá tirando onda com a minha cara, é Jorge?)
* O sinal de ponto decimal (este botão, às vezes, faz confusão na cabeça das pessoas...)
* Inversão de sinal (a tecla +/-)
* Porcentagem (o sinal %)
* Parênteses (o sinal de parênteses comum, abre e fecha parênteses)
* Potência (y elevado a x)
* Inversão de valor (1/x)
* 2 botões de logaritmos: log e ln (essas operações vêm junto com as operações e (a letra E) elevado a x e 10 elevado a x)
* Opcional: raiz quadrada
* Opcional: segunda função (ou shift)
Você sabe como liga e desliga a sua calculadora? Há calculadoras que não têm o botão OFF...

Achou todos eles na sua calculadora? Se não achou, procure com calma, que você vai encontrar: ou é um botão dedicado àquela operação, ou a operação está na parte superior da tecla, com uma cor diferente. Deve haver na sua calculadora um botão com uma cor diferente, em algum lugar do teclado: ele indica que vai habilitar as funções que aparecem com aquela cor.

Pra fazer o básico de matemática financeira, você não precisa de uma calculadora dessas!

Depois de ter encontrado as operações, mãos à obra!

1. Cálculo de porcentagem:
Vamos supor que eu queira calcular 5% de 385.000 (apenas exemplo!)
Eu costumo fazer assim na minha calculadora:
# digito o valor (385000)
# sinal de multiplicação
# digito o valor da porcentagem que eu quero (5)
# ativo a função porcentagem (botão 2ndF, depois %)
# aperto o botão de igual
Sim, eu aperto o botão de igual duas vezes: uma para ativar a porcentagem, outra para obter o valor.

2. Juros Simples
Os cálculos de juros simples podem ser feitos com uma calculadora de quatro operações, daquelas de padaria mesmo, porque a fórmula principal e as derivadas dela são simples, demandam apenas as quatro operações.
Não vou entrar em detalhes sobre juros simples. Procure no Google!

3. Juros Compostos

Aqui vai um pequeno exemplo: suponhamos que eu queira aplicar R$250,00 em uma determinada aplicação que rende para mim 0,5% ao mês, e vou deixar rendendo por, sei lá, 4 anos. Quanto eu vou receber, bruto (antes de descontar impostos, taxas e coisas do tipo)?
Vamos à fórmula do montante:

M = C * (1 + i) ** n

Colocando os valores nos seus devidos lugares, fica assim

M = 250 * (1 + 0,005) ** 48

(obs1: 0,5% = 0,5/100 = 0,005)
(obs2: 12 * 4 = 48)

Você ainda se lembra da regra de preferência dos cálculos de matemática? Primeiro a potência, depois a multiplicação/divisão, depois a soma/subtração. Quando há uma operação entre parênteses, o que está dentro é calculado primeiro, seguindo a mesma regra descrita antes.
Calculando:

M = 250 * (1,005) ** 48

Aqui aparece uma potência. Faço assim:
# Coloco 1,005
# Aperto y/x
# Coloco 48
# Aperto igual

M = 250 * 1,270489 (vou deixar seis casas decimais mesmo, sem arredondar para cima)

M = 317,62

Muito bem! Vamos a um cálculo de taxa: R$250,00, aplicados sob juros compostos por 48 meses, vai render R$317,62 se usarmos que taxa?

Vamos usar uma fórmula derivada da do montante:

i = (M/C) ** (1/n) -1

Colocando os valores nos lugares:

i = (317,62/250) ** (1/48) - 1

i = 1,27048 ** (1/48) - 1

Aqui temos uma inversão de valor: #comofaz? Eu faço assim:
# Digito o valor
# Ativo a segunda função (2ndF)
# Aperto 1/x

i = 1,27048 ** 0,020833 - 1 (potência de novo!)
i = 1,004999 - 1
i = 0,004999 ~ 0,005

multiplicando o resultado por 100, temos 0,5% (aproximadamente 0,5%: se a gente for fazer as contas com os valores completos, a gente se aproxima muito mais de 0,5%).

E #comofaz o cálculo usando parênteses? Eu faço assim:
# Abro o parêntese
# Digito o valor
# Digito a operação
# Digito o outro valor (opcional)
# Aperto igual (a própria calculadora fecha o parêntese e calcula o que estiver dentro)

Tá, e como fica o cálculo do período?
Vamos usar logaritmos para isto! Não importa qual base você usa, desde que mantenha a base você acerta a conta. Ou seja, você pode usar log ou ln, se quiser!
R$250,00 aplicados a juros compostos a 0,5% ao mês, precisam de quanto tempo para fazer um montante de R$317,62?

Vamos usar outra fórmula derivada da do montante:

n = log(M/C) / log(1+i)

Colocando os valores nos seus lugares:

n = log(317,62/250) / log(1+0,005)
n = log(1,27048) / log(1,005)

Aqui eu vou usar logaritmo na base 10 (porque eu quero usar log na base 10, apenas por isso!)
# Digito o valor
# Aperto o botão log

n = 0,103967 / 0,002166
n = 47,9995 ~ 48

Eu faço assim.
Viu como se faz? Agora procure (no Google mesmo ou em algum livro de matemática financeira) exercícios, e resolva-os!

Juros Compostos

Agora (na verdade ontem, mas enfim) é que o professor de matemática financeira entrou em Juros Compostos: juros sobre juros (tem até uma estorinha, depois eu conto), cálculo de montante, de juro, taxa e período (com outra estorinha). Daqui a uns dias estou fazendo prova disto.

estorinha 1: uma das alunas, ao ouvir a expressão "juros sobre juros", falou bem alto na sala: Agiota! Eu não me aguentei: falei Banco!

estorinha 2: pra calcular taxa e período em juros compostos (veja o post anterior), não tem jeito, você só calcula isso com uma calculadora científica. A impressão que eu tenho é que o pessoal quer ser corretor sem aprender a fazer contas. É como querer ser médico sem estudar Anatomia, ou tendo nojinho de sangue. Pois bem, ele mostrou como se calcula taxa (precisa usar raiz enésima - raiz quadrada é quando o expoente é 2) e o pessoal começou a se manifestar: "Ah, tá dificultando, não vou saber fazer...", essas coisas.

E quando ele mostrou como calcular o período, que precisa usar logaritmo? Aí é que danou de vez! A agitação na classe foi tamanha que ele cedeu: não vai colocar cálculo de período na prova.

Tudo isso por quê? Porque o pessoal esqueceu (ou não viu, ou não prestou atenção) os assuntos de matemática do ensino médio, e parece que não sabe usar a ferramenta que tem (a calculadora científica).

Será que é necessário uma aula de como se usa uma calculadora? Será que precisamos chegar a esse ponto? Hum... acho que sim.

Cursos! Vamos estudar, minha gente!

Que tal estudar nas horas vagas (que, eu sei, são poucas e se tornam cada vez menos) um assunto interessante e/ou importante para o seu crescimento pessoal e/ou profissional?

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De como eu encontrei uma coisa que estava procurando há muito tempo - ou: Taxa e Período de Juros Compostos

Estou trabalhando como corretor de imóveis. Sou estagiário, ainda - estou fazendo curso ainda e, só quando terminar, eu vou poder ter o meu registro definitivo como corretor de imóveis.

No curso que estou fazendo, a gente tem a matéria de matemática financeira. E nesse curso a gente aprende sobre juros simples e compostos.

Pra quem não sabe, existe uma fórmula para se calcular o montante dos juros compostos:

montante (M) = capital inicial (C) multiplicado por uma potência: 1 mais a taxa (1+i) elevado ao período de aplicação (n)

Ou seja,

M = C*(1+i)**n   (1)

A regra de preferência na matemática é: primeiro calcular a potência, depois a multiplicação ou a divisão, depois a soma ou a subtração. A exceção é quando uma operação está dentro de parênteses: o que estiver dentro é calculado antes.

Eu tinha lido em algum lugar que era mais fácil calcular o montante ou o capital inicial, que para calcular o período era necessário usar logaritmos e para calcular a taxa era preciso fazer um cálculo iterativo (um cálculo no qual é necessário uma série de tentativas até chegar ao resultado correto). Sinceramente, a ideia de ficar fazendo iteração não me agradou nem um pouco.

Então, certa madrugada, peguei um livro de matemática do ensino médio e comecei a ler a seção dos logaritmos, pra rememorar o ensino médio. Graças a Deus e a meus pais, tive condição de estudar em uma escola boa, que ensinava realmente as matérias em vez de ficar fingindo que ensinava.

E comecei a brincar com a fórmula de juros compostos. Pra achar o capital inicial foi coisa bem simples: passei o que estava multiplicado a ele para o outro lado da equação, dividindo:

C = M / ((1+i)**n)   (2)

Moleza!

E para calcular o período?

Passei o capital para o outro lado da equação:

(1+i) ** n = M / C   (3)

Aí não teve jeito, tive que apelar aos logaritmos. Coloquei os dois lados em uma função logaritmo (eu usei logaritmo neperiano, de base e, mas poderia ser qualquer base):

ln ((1+i)**n) = ln (M/C)   (4)

E usei uma propriedade dos logaritmos, o logaritmo de uma potência:

ln ((1+i)**n) = n * ln (1+i)

n * ln (1+i) = ln (M/C)

E isolei o período:

n = [ln (M/C)] / [ln (1+i)]   (5)

Eu sabia que tinha também outra propriedade, o logaritmo de uma divisão, mas preferi não usá-la.

Muito bom, mas faltava o mais problemático, achar um jeito de calcular a taxa. Eu até fiz um jeito que usava logaritmo, e dava muito certo, mas encontrei na Internet um jeito mais simples:

começando com (3), levei o n para o outro lado da equação. Como é uma potência, vai para o outro lado uma raiz enésima:

(1+i) = (M/C) ** (1/n)

Agora, isolando i,

i = [(M/C) ** (1/n)] - 1   (6)

Pronto! Já posso descansar em paz!

Como em juros simples a gente tem quatro (na verdade tem cinco, se a gente considerar o cálculo dos juros) equações, em juros compostos a gente também tem quatro equações (cinco, se a gente considerar os juros).

Quer saber como encontrei o cálculo da taxa usando logaritmo? Comente!