De como eu encontrei uma coisa que estava procurando há muito tempo - ou: Taxa e Período de Juros Compostos

Estou trabalhando como corretor de imóveis. Sou estagiário, ainda - estou fazendo curso ainda e, só quando terminar, eu vou poder ter o meu registro definitivo como corretor de imóveis.

No curso que estou fazendo, a gente tem a matéria de matemática financeira. E nesse curso a gente aprende sobre juros simples e compostos.

Pra quem não sabe, existe uma fórmula para se calcular o montante dos juros compostos:

montante (M) = capital inicial (C) multiplicado por uma potência: 1 mais a taxa (1+i) elevado ao período de aplicação (n)

Ou seja,

M = C*(1+i)**n   (1)

A regra de preferência na matemática é: primeiro calcular a potência, depois a multiplicação ou a divisão, depois a soma ou a subtração. A exceção é quando uma operação está dentro de parênteses: o que estiver dentro é calculado antes.

Eu tinha lido em algum lugar que era mais fácil calcular o montante ou o capital inicial, que para calcular o período era necessário usar logaritmos e para calcular a taxa era preciso fazer um cálculo iterativo (um cálculo no qual é necessário uma série de tentativas até chegar ao resultado correto). Sinceramente, a ideia de ficar fazendo iteração não me agradou nem um pouco.

Então, certa madrugada, peguei um livro de matemática do ensino médio e comecei a ler a seção dos logaritmos, pra rememorar o ensino médio. Graças a Deus e a meus pais, tive condição de estudar em uma escola boa, que ensinava realmente as matérias em vez de ficar fingindo que ensinava.

E comecei a brincar com a fórmula de juros compostos. Pra achar o capital inicial foi coisa bem simples: passei o que estava multiplicado a ele para o outro lado da equação, dividindo:

C = M / ((1+i)**n)   (2)

Moleza!

E para calcular o período?

Passei o capital para o outro lado da equação:

(1+i) ** n = M / C   (3)

Aí não teve jeito, tive que apelar aos logaritmos. Coloquei os dois lados em uma função logaritmo (eu usei logaritmo neperiano, de base e, mas poderia ser qualquer base):

ln ((1+i)**n) = ln (M/C)   (4)

E usei uma propriedade dos logaritmos, o logaritmo de uma potência:

ln ((1+i)**n) = n * ln (1+i)

n * ln (1+i) = ln (M/C)

E isolei o período:

n = [ln (M/C)] / [ln (1+i)]   (5)

Eu sabia que tinha também outra propriedade, o logaritmo de uma divisão, mas preferi não usá-la.

Muito bom, mas faltava o mais problemático, achar um jeito de calcular a taxa. Eu até fiz um jeito que usava logaritmo, e dava muito certo, mas encontrei na Internet um jeito mais simples:

começando com (3), levei o n para o outro lado da equação. Como é uma potência, vai para o outro lado uma raiz enésima:

(1+i) = (M/C) ** (1/n)

Agora, isolando i,

i = [(M/C) ** (1/n)] - 1   (6)

Pronto! Já posso descansar em paz!

Como em juros simples a gente tem quatro (na verdade tem cinco, se a gente considerar o cálculo dos juros) equações, em juros compostos a gente também tem quatro equações (cinco, se a gente considerar os juros).

Quer saber como encontrei o cálculo da taxa usando logaritmo? Comente!